第一句的 with influence to the precipitation 搭配有误。

“对...影响” 是 influence on 不是 to。

改为：with influence on the precipitation 

Steepening of the equator to pole temperature gradient prompted intensification of circulation with influence on the precipitation.

赤道到极地温度梯度的变陡导致环流的加强，并对降水产生影响。

这里，with...表示 “连同；与...一起”，是“方式状语”。

The situation took an alarming turn with the outbreak of four more new pests.

随着又有四种新的虫灾爆发，情况发生了惊人的变化。

这里，with...表示“伴随”，是“伴随状语”。