He first told police his son disappeared while the family was picking vegetables.

当while从句位于句末时，仅从语法角度考虑，while从句可能是修饰主句谓语told的时间状语，也可能是修饰宾语从句谓语disappeared的时间状语。此时只能通过逻辑进行判断。the family，为集体名词，后接单数谓语表示全家人都在菜园里收菜，应该包括父亲本人。那么他就不可能在收菜的时候和警察谈话，报告儿子的失踪。因此将while从句理解为修饰told是不符合逻辑的。故while从句只能是修饰disappeared的时间状语。

从语法上讲，如果while从句位于句首，则只可能是主句谓语told的时间状语，不可能是修饰宾语从句的谓语disappeared的（宾语从句的状语不可以前置于主句主语之前）。

但对本句而言，逻辑上不允许将while从句理解为修饰主句谓语told，故也不可以将while从句移至句首。