1. Thank you for offering inviting me to the free summer English course organizing in your school.

改正的办法：

(1) 将 inviting 改为 to invite，因为 offer 后面接不定式。

(2) 将 organizing 改为 organized，用过去分词表被动。

Thank you for offering to invite me to the free summer English course organized in your school.

谢谢你邀请我参加你们学校组织的暑期免费英语课程。

2. This will gives me more time to see your beautiful country while learned language.

改正的办法：

(1) 将 gives 改为 give，will 后面接动词原形；或去掉 will 也可以。

(2) 将 while learned language 改为 while I’m learning the / your language，不宜将 learned 改成learning，正如你所说，这样的话现在分词作状语时，它的逻辑主语就与句子主语不一致了。另外要注意在 language 前加上 the 或 your，因为 language 在此为可数名词。