这个句子用both...and是可以的。但neither...nor不大合适。因为be going to do通常表示主语打算做某事，而不是某人打算不做某事。你回忆一下你以前见过的be doing to do的句子，后面有否定形式没有。

如果要表示没有不打算做某事，通常用I‘m not going to visit A or B.  当然从语法角度讲，一个动词否定句可以改为非动词否定的形式：I’m doing to visit neigher A nor B. 但这样的句子似乎少见。