首先比较两个句子：

I paid (money) for him. 我替他付了钱。（for表对象）

I paid (money) for the shirt. 我付钱买了衬衫。（for表交换）

整个句子的意思是：公立学校是政府买单，但在私立学校，孩子的教育费用是由家长负担的。前一分句中的介词 for 不可省略，否则前后的语意关联会产生逻辑错误。前一分句 for 的宾语是 state schools，后一分句 for 的宾语是 the education of their children。句中的两个 for 表示的意义也是不一样的，前面表“对象”，后面表“交换”。如果这句话改为下面的句子就好理解了：

In terms of the education of children, the government pays for state schools while parents pay for private schools.