But inheritances 主语

are 系词

deeply personal and the biggest single gift 表语

that many give to causes they believe in and loved ones they may have cherished.限制性定语从句修饰gift。其中that为关系代词作give的宾语，many=many people为主语，to causes and loved ones为介词短语作give的状语（介词to引出间接宾语），causes和loved ones又分别被定语从句they believed in和they may have cherished所修饰。

译文：但遗产完全是个人性质的，是许多人给予他们所信仰的事业或他们所爱的人的最大的馈赠。

Politicians 主语

know 谓语

a vote-winner 宾语 （动词+后缀-er，可以是做这个动作的人，也可以是做这个动词的工具。在这里是指赢得选票的手段、方法。）

when they see one.时间状语从句。 one=a vote-winner

译文：政客们遇到一个拉选票的机会是不会放过的。

补充内容：

the single biggest（或其它最高级形容词） +名词，或the biggest（或其它形容词最高级） single +名词， 为固定搭配，表示在分别考虑的情况下最。。。的。那么，the biggest single gift 中的single似乎在汉语中不必译出。即去世者曾经给过的gifts中最大的gift。试比较以下词典例句的汉译。

《朗文词典》.

the single biggest/greatest etc

used to emphasize that you are talking about the one thing that is the biggest, greatest etc 

Cigarette smoking is the single most important cause of lung cancer. 吸烟是导致肺癌诸多因素中最重要的因素。

Tourism is the country’s single biggest earner. 旅游是该国挣钱最多的行业。

《麦克米伦词典》

single：considered separately

Do we have to count every single penny we spend?

the single largest/biggest etc: 

Drugs are the single biggest cause of crime here.毒品是这里最主要的犯罪原因。

the biggest/largest etc single: 

This is the biggest single issue facing older people.这是老年人面对的最大问题。

由此看来，single的这种用法不是刘老师说的表示”专一的“等意义。