But he (the writer) has his reward, for he is trusted and convinces, as those who are at the mercy of their own eloquence do not.

这个句子中的convinces显然是不及物动词。意为“令人信服”。后面没有宾语。

以前答疑网也有过类似的疑问，http://ask.yygrammar.com/q-999.html，质疑下面句子中的convince用法：

You must be convinced if you are to convince.想要别人相信，自己就得相信。

Beachy老师解答中引用了惠特曼Walt Whitman(1819-1892）《草叶集》中诗句，Song of the Open Road 第10节末尾的句子：

I and mine do not convince by arguments, similes, rhymes, We convince by our presence.

尽管现在的词典中查不到convince作为不及物动词的用法，但以上三句中的convince显然却都是不及物用法，而且作者用错的几率不大。

我认为这可能是较早期的英语中convince可用作不及物动词，现代英语中convince已经没有不及物用法了，因此词典不再收录不及物用法。

建议将这种用法当作特例对待，了解句子意思即可，不宜模仿。