I believe… 的意思是：我相信……
I do believe… 的意思是：我确实相信……
第二句中的 do 表示强调，意思是“确实”“真的”等。比较：
She likes dogs. 她喜欢狗。
She does like dogs. 她真的喜欢狗。
He speaks well! 他讲得很精彩。
He does speak well! 他的确讲得很精彩。
They want you to come. 他们要你来。
They do want you to come. 他们一定要你来。
I think you are right. 我认为你是对的。
I do think you are right. 我的确认为你是对的。